Les EDP sont omniprésentes dans les sciences, puisqu’elles modélisent l’évolution de plusieurs grandeurs dans les domaines de la mécanique des fluides, la diffusion de la chaleur, l’électromagnétisme ou les prévisions météorologiques.
L’objectif général de ce programme de recherche est de développer des méthodes théoriques et numériques pour l’étude de quelques problèmes modélisés par des équations aux dérivées partielles, des problèmes directes ou inverses. Il ne s’agit pas simplement d’étudier le modèle autonome, mais il s’agit en plus de contrôler de stabiliser l’évolution des solutions. Pour cela, des méthodes analytiques ainsi que des méthodes numériques seront développées. Un grand nombre d’applications dans l’industrie et dans le monde universitaire, comme la science des matériaux, l’imagerie médicale, radio-emplacement, la sismologie et technologies de sonar. Ce sont aussi des problèmes d’actualité dans la théorie de Scattering, dans les domaines de la supraconductivité, des cristaux phoniques et d’une façon plus générale dans le domaine des problèmes non linéaires. Les modèles à étudier sont par exemples les équations d’ondes où la vitesse de propagation est fini, les équations quantiques comme l’équation de Schrödinger ou la vitesse de propagation est infini.
Finalement les équations de la mécanique de fluide comme l’équation d’Euler, de Navier Stockes…. La théorie des problèmes de diffraction inverses pour les ondes acoustiques et électromagnétiques est un domaine de recherche très actif qui a connu des avancées significatives ces dernières années. Des Méthodes permettant de reconstituer la forme d’un objet à partir de sa réponse acoustique ou électromagnétique avec peu de données a priori sur les propriétés physiques de l’objet, a révélé l’existence de fréquences de résonance appelées valeurs propres de transmission, pour lesquelles ces méthodes échouent dans le cas d’objets diffractant pénétrables. Ces fréquences particulières peuvent être étudiées à partir d’un nouveau type de problème appelé problème de transmission intérieur. Ces valeurs propres s’avèrent très utiles dans le problème d’identification puisqu’elles peuvent aussi être calculées à partir des mesures à l’infini et quelles apportent des informations qualitatives sur les propriétés physiques de l’objet. On utilisera pour cela des outils modernes tels que les outils d’analyse semi-classique, analyse spectrale et le calcul scientifique. L’intérêt de ces outils est que d’une part ils permettent la compréhension de manière très précise des phénomènes liés à la propagation (acoustique ou quantique), aux problèmes inverses et que d’autre part, ils permettent l’étude théorique et numérique des phénomènes issus de la mécanique de fluide. On s’intéresse aussi à l’analyse des équations dispersives linaires et non linaires et son prolongement dans la théorie de scattering. De nombreux phénomènes physiques sont modélisés par des équations aux dérivées partielles dispersives. L’étude mathématique et numérique de la propagation des ondes est en fait un des fils directeurs de ce projet. Les ondes peuvent être acoustiques, magnétiques ou quantiques comme l’équation de Schrödinger. On s’intéresse en particulier à l’étude de la diffusion (scattering) pour des équations d’évolution à l’extérieur d’un obstacle compact, qui peut être en mouvement. Il s’agit d’étudier des perturbations à support compact de l’équation sur R d , ces perturbations pouvant être des obstacles ou des modifications de la métrique. Dans la théorie de scattering (la diffusion par des obstacles ou par un potentiel support compact), les résonances peuvent également être obtenues comme les valeurs propres discrètes d’un hamiltonien non auto-adjoint provenant d’une dilatation complexe du hamiltonien initial. Plusieurs auteurs ont entrepris de relier les propriétés de décroissance locale à la géométrie du flot Hamiltonien associé aux rayons. En présence de rayons captifs, la décroissance locale (au voisinage de l’obstacle, dans le champ proche selon la terminologie des radaristes) ne peut pas être uniforme pour toutes données initiales. C’est ainsi qu’on intervient par l’action d’un terme d’amortissement qui contrôle géométriquement les rayons captifs pour faire décroitre l’énergie uniformément, c’est le problème de stabilisation.