Processus de Lévy applications : Opérateur aux dérivées partielles et aux différences
Projet 1
Résumé et objectifs
Un processus de Lévy est caractérisé par sa représentation de Lévy-Khintchine. Réciproquement, par la décomposition d’une mesure on peut construire un processus de Lévy à partir d’une fonction caractéristique. La propriété de stabilité du processus est à envisager.
On s’intéresse pour les processus de Lévy, aux lois infiniment divisibles, à la formule de Lévy- Khintchine pour des mesures infiniment divisibles, à la décomposition d’Itô-Lévy et aux formes de Dirichlet associées à certains opérateurs aux dérivées partielles et aux différences.
Retombées socio-économiques du projet
Les processus de Lévy ont simplement deux caractéristiques : leurs accroissements sont indépendants et identiquement distribués (i.i.d.). Deux autres propriétés fondamentales sont la continuité stochastique et le fait qu’ils ont des trajectoires presque sûrement continues à droite et limitées à gauche (càdlàg). Quelques applications en finance : Un processus de Lévy peut avoir simultanément une composante de diffusion non nulle et des sauts d’activité infinie. En particulier, les modèles de Lévy exponentiels considérés dans la littérature financière sont de deux types. Le premier type, ce sont des modèles de diffusion avec sauts où on combine une partie de diffusion non nulle avec un processus de sauts d’activité finie. Le processus évolue principalement comme une diffusion, tandis que les discontinuités modélisent de grands mouvements inattendus et relativement rares dans les prix. La seconde catégorie de modèles est celle des processus sans terme de diffusion. Dans ce cas, les petits sauts fréquents sont nécessaires pour générer des trajectoires réalistes : on parle alors des modèles purement discontinus d’activité infinie : les sauts arrivent constamment.