Etude théorique et numérique de quelques équations aux dérivées partielles d’évolution hyperboliques amorties
Projet 2
Résumé et objectifs
Ce projet concerne l’́étude théorique et numérique des problèmes modélisés par des ́équations aux dérivées partielles hyperboliques provenant de domaines variés tels que la physique, la chimie, la biologie, l’économie, ainsi que les méthodes calcul scientifique qui ont pour but la simulation numérique de ces problèmes. ‘Se former pour une maitrise approfondie des outils d’approximation numérique aussi bien que des techniques d’analyse les plus récentes. Acquisition de connaissances approfondies dans le domaine des mathématiques appliquées. Former des spécialistes dans le calcul scientifique depuis la modélisation et l’analyse numérique jusqu’`a la programmation sur ordinateur. On s’intéresse en particulier à la simulation numérique de la propagation des ondes électromagnétiques dans un câble coaxial sans déformation, en régime temporel. Aussi à l’étudie d’un modèle couplé Euler-Maxwell linéarisé, qui modélise la dynamique dans un plasma froid en présence d’un champ magnétique externe statique. Le système est formé d’une équation d’Euler linéarisée pour les deux espèces ions et électrons de particules du plasma, et des équations dérivées de Maxwell dans le vide. Etudié la stabilité du modèle. D’abord, on prouve la stabilité forte du modèle (i.e la convergence de la solution vers 0 dans l’espace d’énergie) dans les deux cas : conducteur parfait puis Silver Müller. Ensuite, on passe à étudier la stabilité exponentielle (i.e la solution décroit exponentiellement, rapidement, vers 0). On montre la stabilité exponentielle dans le cas du conducteur parfait et par suite dans le cas de Silver Müller.
Programme et méthodologie de recherche
On programme une formation solide et détaillée en analyse fonctionnel, analyse numérique, optimisation et calcul scientifique, axée sur la résolution des problèmes appliques par l’analyse mathématiques la simulation numérique. Pour la simulation numérique de la propagation des ondes électromagnétiques dans un câble coaxial sans déformation, en régime temporel. On doit résoudre numériquement les équations de Maxwell 3D dans ce domaine par la méthode des éléments finis en espace et la méthode des différences finies en temps. Dans de nombreux domaines de la physique et de la mécanique quantique, certaines dynamiques en jeu sont modélisées par l’équation de Schrödinger. Un exemple pris en physique de la matière condensée concerne le condensat de Bose-Einstein peut être modélisé par un système d’équations de Schrödinger linéaire ou non- linéaire. L’équation de Schrödinger est l’équation fondamentale de la mécanique quantique qui nous permet de décrire la dynamique des particules quantiques à l’échelle atomique et subatomique. On s’intéressera à cette classe de modèles mathématiques du double point de vue, le caractère régularisant de point de vue théorique et l’autre point de vue c’est l’études numériques. Il est donc attendu qu’une partie de recherche reviendra à développer et tester des méthodes et procédures pour l’étude numérique du modèle étudiés. L’objectif poursuivi est d’opérer sur le système à l’aide d’un terme d’amortissement afin de régulariser le modèle. Par-suite étudier numériquement le problème et trouver des schémas numériques robustes et efficaces qui s’adaptent à cette équation pour observer l’effet du terme régularisant sur la solution. Spécialement dans l’axe des problèmes inverses liés à l’équation de Schrödinger. Il s’agit, d’une manière plus précise, de déterminer des paramètres (coefficients, potentiel) dans un système couplé d’équations de Schrödinger. L’objectif principale cette thèse est d’obtenir des résultats de stabilité et d’unicité pour certains paramètres du système en question. L’outil principal qu’on souhaite utiliser dans cette partie est « les inégalités de Carleman » ; ces estimations de Carleman sont devenues ces dernières années un ingrédient puissant dans les problèmes inverses car elles permettent, avec l’association de différentes techniques, d’obtenir des inégalités de stabilité et des résultats d’unicité en effectuant un nombre d’observations internes ou frontières sur une partie d’un domaine borné.