Statistique paramétrique et non paramétrique des processus
 

Projet 3

Résumé et objectifs

La modélisation par des processus de diffusion existe dans de nombreux domaines, on cite par exemple les mathématiques financière, l’économétrie, la biologie, la médecine etc. La classe des processus affines est largement utilisée en mathématiques financières et en risque de crédit. On trouve dans cette classe le processus Ornstein-Uhlenbeck (OU) solution de l’équation différentielle stochastique (EDS) suivante :
dY_{t} = (a – bY_{t}) dt + σ dW_{t}, t ≥ 0, où a et b des réels , σ > 0 et (W_{t} ; t≥ 0) est un mouvement brownien standard.
On trouve aussi, le processus de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) solution de l’EDS suivantes :
dY_{t}= (a – bY_{t}) dt + σ \sqrt{Y}_{t} dW_{t}; t ≥ 0;
où a > 0, b des réels et σ > 0 et (W_{t} ; t≥ 0) est un mouvement brownien standard.
Les objectifs de ce projet sont :
1) On étudie le CIR dans un cadre multidimensionnel. On donne des nouveaux résultats asymptotiques sur l’estimateur du maximum de vraisemblance (EMV) pour l’estimation des paramètres du drift dans les deux cas ergodique et non ergodique.
2) On montre des résultats analogue du premier objectif au cas d’une sous classe de processus affines multidimensionnels en prenant (Y; X) dans R×R ^{d} où Y est un CIR et X est un processus d’OU dans R ^{d} de coefficient de diffusion σ \sqrt{Y_{ t}} . Plus précisément, dans le cas de dimension deux nous obtiendrons le processus de Heston.
3) On s’intéresse aux modèles des diffusions avec sauts. On étudie le processus CIR avec sauts. On établit des résultats asymptotiques pour les estimateurs du maximum de vraisemblance du drift et des paramètres des sauts. On étend ces résultats à des classe des processus de diffusion dirigées par un mouvement brownien fractionnaire dans un cadre de statistique paramétrique et un cadre de statistique non paramétrique.
4) On étudie le problème d’estimation statistique de quelques diffusions fractionnaires. Plus précisément, on s’intéresse au processus OU et au processus CIR dirigé par des mouvements brownien fractionnaires. On établit des résultats de statistique inférentielle et des propriétés asymptotiques pour l’estimation des paramètres du drift.
5) On considère une classe de diffusion dirigée par des mouvements browniens fractionnaires dans un cadre non paramétrique. Plus précisément, on étudie le problème d’estimation non paramétrique d’une équation différentielle stochastique dirigée par un mouvement brownien fractionnaire avec un drift linéaire en se basant sur des observations continues.
6) On traite le problème d’estimation multidimensionnel non paramétrique de quelques fonctionnelles. Plus précisément, on étudie les problèmes d’estimation d’une fonction de régression, d’une fonction de réparation conditionnelle (CCDF) et de fonction de hasard conditionnelle en utilisant une approche récursive en se basant sur des algorithmes d’approximation stochastique.

Retombées socio-économiques du projet

Notre projet est basé sur l’étude des statistiques des processus notamment les diffusions solutions des EDS qu’elles ont des impacts en physique, en chimie, en biologie, en finance, économétrie, en machine Learning etc. Leur nature même en fait un outil de modélisation formidable, elle permet de capter des dynamiques instantanées entachées d’incertitude et elles ont montré leur rôle central dans l’analyse et la gestion des risques financiers.
Comme modèle de diffusion, dans ce projet, nous étudions le modèle Ornstein-Uhlenbeck permettant de décrire la vitesse d’une particule. Ce processus à temps continu est solution d’une équation différentielle stochastique, l’équation de Langevin pour le mouvement brownien d’une particule avec friction qui peut être représenté comme une transformation affine du mouvement brownien changé de temps. Ce processus a été très utilisé surtout en biologie, finance et récemment a été utilisé en climatologie pour modéliser le risque climatique voir les travaux de Laura Estelle GAY (2019).
Au cours de ce projet, nous étudions le problème d’estimation statistique de modèle Cox-Ingersoll- Ross qui est très utilisé dans la finance mathématiques. Ce modèle décrit l’évolution des taux d’intérêt, il est un type de modèle de taux court, plus précisément, il décrit les mouvements de taux d’intérêt conduit par une seule source de risque de marché. Ce modèle peut aussi modéliser les évaluations de dérives de taux d’intérêt.
Nous traitons aussi le problème d’estimation fonctionnelle non paramétrique telles que la fonction de répartition conditionnelle, la fonction de hasard et les régressions qui sont très utilisées par exemple dans le traitement des épidémies, en finance, en économie et surtout récemment en machine Learning voir le récent travail de Pawel Chilinski and Ricardo Silva 2020.