La modélisation par des processus de diffusion existe dans de nombreux domaines, on cite par exemple les mathématiques financière, l’économétrie, la biologie, la médecine etc. La classe des processus affines est largement utilisée en mathématiques financières et en risque de crédit. On trouve dans cette classe le processus Ornstein-Uhlenbeck (OU) solution de l’équation différentielle stochastique (EDS) suivante :
dY_{t} = (a – bY_{t}) dt + σ dW_{t}, t ≥ 0, où a et b des réels , σ > 0 et (W_{t} ; t≥ 0) est un mouvement brownien standard.
On trouve aussi, le processus de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) solution de l’EDS suivantes :
dY_{t}= (a – bY_{t}) dt + σ \sqrt{Y}_{t} dW_{t}; t ≥ 0;
où a > 0, b des réels et σ > 0 et (W_{t} ; t≥ 0) est un mouvement brownien standard.
Les objectifs de ce projet sont :
1) On étudie le CIR dans un cadre multidimensionnel. On donne des nouveaux résultats asymptotiques sur l’estimateur du maximum de vraisemblance (EMV) pour l’estimation des paramètres du drift dans les deux cas ergodique et non ergodique.
2) On montre des résultats analogue du premier objectif au cas d’une sous classe de processus affines multidimensionnels en prenant (Y; X) dans R×R ^{d} où Y est un CIR et X est un processus d’OU dans R ^{d} de coefficient de diffusion σ \sqrt{Y_{ t}} . Plus précisément, dans le cas de dimension deux nous obtiendrons le processus de Heston.
3) On s’intéresse aux modèles des diffusions avec sauts. On étudie le processus CIR avec sauts. On établit des résultats asymptotiques pour les estimateurs du maximum de vraisemblance du drift et des paramètres des sauts. On étend ces résultats à des classe des processus de diffusion dirigées par un mouvement brownien fractionnaire dans un cadre de statistique paramétrique et un cadre de statistique non paramétrique.
4) On étudie le problème d’estimation statistique de quelques diffusions fractionnaires. Plus précisément, on s’intéresse au processus OU et au processus CIR dirigé par des mouvements brownien fractionnaires. On établit des résultats de statistique inférentielle et des propriétés asymptotiques pour l’estimation des paramètres du drift.
5) On considère une classe de diffusion dirigée par des mouvements browniens fractionnaires dans un cadre non paramétrique. Plus précisément, on étudie le problème d’estimation non paramétrique d’une équation différentielle stochastique dirigée par un mouvement brownien fractionnaire avec un drift linéaire en se basant sur des observations continues.
6) On traite le problème d’estimation multidimensionnel non paramétrique de quelques fonctionnelles. Plus précisément, on étudie les problèmes d’estimation d’une fonction de régression, d’une fonction de réparation conditionnelle (CCDF) et de fonction de hasard conditionnelle en utilisant une approche récursive en se basant sur des algorithmes d’approximation stochastique.