La connexion entre le mouvement brownien est le problème de Dirichlet classique est devenue naturelle dès qu’on a observé que l’opérateur de Laplace est le générateur infinitésimal du mouvement brownien. Il en résulte alors que tout problème de type Dirichlet admet une interprétation probabiliste basée essentiellement sur les temps d’arrêt, la théorie des martingales et le calcul stochastique. Plus généralement, nous utilisons à la fois à des méthodes probabilistes et d’autres analytiques pour examiner des problèmes linéaires et non linéaires faisant intervenir des EDP. Nous nous intéressons aussi à des opérateurs non locaux tels contenant le Laplacien fractionnaire ou des opérateurs aux différences.
Les problèmes traités sont de grande importance et permettent de répondre des questions pratiques venant des sciences appliquées : Mécanique quantique, fiance, économie, biologie, …etc. En particulier, l’étude des processus stochastiques sera appliquée dans le domaine de l’apprentissage statistique (statistical learning) qui est devenu récemment une branche majeure des mathématiques appliquées. Le livre de Vladimir Vapnik « The Nature of Statistical Learning » est considéré comme la première base théorique qui a donné le coup d’envoi à tous les développements théoriques et applications pratiques. Ce domaine de la science est à l’intersection des mathématiques, avec des connaissances de probabilités, de la théorie de la mesure, des équations aux dérivées partielles, d’optimisation, d’analyse numérique et de l’intelligence artificielle.
L’objectif est de construire des modèles qui apprennent d’une part par l’exemple qui provient des données numériques (résultats de prélèvement ou de simulation) et d’autre part l’apprentissage déterministe qui s’appuie sur des équations issues des principes de la physique, la chimie, la biologie ou l’économie. L’apprentissage statistique a montré une grande efficacité et utilité lorsqu’on cherche à modéliser des processus complexes souvent non linéaires et/ou dynamiques pour lesquels les procédures théoriques classiques sont souvent trop imprécises pour permettre des études correctes et précises. Ses domaines d’applications sont devenus nombreux : fouille de données, bioinformatique, aide au diagnostic médical, télécommunications, interface cerveau-machine…etc.